Tópicos Avançados de Matemática II › 45209

Esta unidade curricular tem como objetivos principais: conhecer os fundamentos da teoria das matrizes superregulares e técnicas de construção deste tipo de matrizes; conhecer os fundamentos matemáticos subjacentes ao modelo de computação quântica, a par com uma compreensão global dos algoritmos mais proeminentes e suas implicações; aprofundar os conhecimentos em tópicos mais especializados na área da teoria da informação quântica; contacto com metodologias de info-metrics e com técnicas estatísticas recentes de regularização, de redução de dimensionalidade e de agregação.

Após o término da unidade curricular, os estudantes deverão ser capazes de trabalhar nos diversos tópicos propostos, assim como interpretar e comunicar resultados técnicos para audiências especializadas em qualquer ambiente intercultural.

Noções básicas da teoria das matrizes superregulares. Matrizes superregulares sobre o corpo dos reais e sobre corpos finitos. Técnicas de construção. Aplicações das teorias superregulares à teoria dos códigos a blocos e convolucionais, e à criptografia.

Introdução: bits quânticos, a notação de Dirac, formulação matemática dos postulados da Mecânica Quântica. Circuitos Quânticos: portas quânticas, portas de controlo, conjuntos universais de portas quânticas. Algoritmos Quânticos: o algoritmo de Deutsch-Jozsa, o algoritmo de Simon, o algoritmo de pesquisa de Grover e generalizações. A transformada quântica de Fourier e suas aplicações: o algoritmo de Shor, algoritmos de estimação de fase. Teoria da Informação Quântica: entropia, codificação densa, compressão de dados, códigos de deteção e correção de erros. 

Regularização. Redução de dimensionalidade. Procedimentos de agregação em dados homogéneos e não homogéneos. Info-Metrics (informação, máxima entropia e inferência).

A avaliação consistirá na apresentação de trabalhos sobre os conteúdos da unidade curricular.

Conhecimentos básicos de álgebra linear, teoria dos corpos finitos, teoria da computação e inferência estatística.

Análise de textos e artigos que permitam aos estudantes a elaboração de trabalhos, nos quais demonstrem um conhecimento sólido sobre cada tópico.

P. Almeida, D. Napp and R. Pinto, A new class of superregular matrices and MDP convolutional codes, Linear Algebra and its Applications, 439(7), 2145-2157, 2013.

P. Almeida, D. Napp and R. Pinto, Superregular matrices and applications to convolutional codes, Linear Algebra and its Applications, 499, 1-25, 2016.

P. Almeida, D. Napp and R. Pinto, From 1D Convolutional Codes to 2D Convolutional Codes of Rate 1/n, Coding Theory and Applications, CIM Series in Mathematical Sciences, Vol. 3, 25-33, 2015.

P. Almeida, D. Napp and R. Pinto, On optimal extended row distance profile, Ed. Bebiano, N., International Conference on Matrix Analysis and its Applications. MAT-TRIAD 2015: Applied and Computational Matrix Analysis, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Vol. 192, 67-77, Springer, Cham, 2017.

T. Ando, Totally positive matrices, Linear Algebra and its Applications, 90, 165–219, 1987.

P. Bühlmann and N. Meinshausen, Magging: Maximin Aggregation for Inhomogeneous Large-Scale Data, Proceedings of the IEEE, 104(1), 126-135, 2016.

A. Golan, Foundations of Info-Metrics: Modeling and Inference with Imperfect Information, Oxford University Press, 2018.

T. Hastie, R. Tibshirani and J. Friedman, The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction, Springer, 2nd Edition, 2009.

T. Hastie, R. Tibshirani and M. Wainwright, Statistical Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations, CRC Press, Taylor & Francis Group, 2015.

R. Hutchinson, R. Smarandache and J. Trumpf, On superregular matrices and MDP convolutional codes, Linear Algebra and its Applications, 428, 2585-2596, 2008.

A. Yu. Kitaev, A. H. Shen and M. N. Vyalyi, Classical and Quantum Computation, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2002.

M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2011.

A. Pinkus, Totally Positive Matrices, Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 181, Cambridge University Press, 2009.

R. Smarandache, H. Gluesing-Luerssen and J. Rosenthal, Constructions of MDS-convolutional codes, IEEE Trans. Inform. Theory, 47(5), 2045-2049, 2001.

N. S. Yanofsky and A. Mannucci, Quantum Computing for Computer Scientists, Cambridge University Press, 2008.